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Rédaction n°15. Intégration. Diplodocus (état 2). Dieudonné, Jean, R015_iecnr018, accès le 20/11/2018, http://archives-bourbaki.ahp-numerique.fr/items/show/415

Description

Notations.
Chapitre I. Tribus d’ensembles. § 1. Définition et premières conséquences. § 2. Tribu induite dans un sous-ensemble. § 3. Génération d'une tribu par une famille d'ensembles. § 4. Tribu de Borel dans un ensemble ordonné. § 5. Produit de tribus. § 6. Génération d'une tribu par une famille de fonctions. Appendice.

Chapitre II. Fonctions tribales et fonctions mesurables. § 1. Définition et propriétés générales des fonctions tribales. § 2. Fonctions tribales numériques. § 3. Fonctions mesurables-T. § 4. L'approximation par les fonctions étagées. 

Chapitre III. Les fonctionnelles linéaires croissantes. § 1. Les familles (W). § 2. Définition et propriétés fondamentales d'une fonction linéaire croissante. § 3. L'inégalité fondamentale de convexité. § 4. Extension aux espaces vectoriels. § 5. Les espaces L^p(E, Λ, L).  

Chapitre IV. L’Intégrale « définie ». § 1. Définition de la mesure. § 2. Définition de l'intégrale. Mesure attachée à une intégrale. § 3. L'intégrale attachée à une mesure. § 4. Sommes et limites d'intégrales et de mesures. § 5. Propriétés de l'intégrale ; la notion de "presque partout". § 6. Propriétés de l'intégrale (suite). § 7. Propriétés de l'intégrale (suite). § 8. Somme et produit d'une infinité de nombres réels. § 9. L'inégalité de convexité pour l'intégrale et ses conséquences. § 10. Extension aux espaces vectoriels. § 11. Théorie des moyennes. § 12. Les espaces L^p(E, T, μ). Appendice.  

Chapitre V. L’intégrale « indéfinie ». § 1. La notion de mesure généralisée et les mesures de base μ. § 2. Le théorème de décomposition. § 3. Le théorème de Nikodym. § 4. Les décompositions canoniques. § 5. Applications. Appendices.  

Chapitre VI. Le prolongement des fonctionnelles linéaires croissantes. § 1. Introduction. § 2. Définition des ensembles de mesure nulle. § 3. Etude de l'espace L^1 complété. Identification de L(f) avec une intégrale. § 5. Les relations entre les fonctions de ϕ^1 et les fonctions mesurables-T.    

Chapitre VII. Le prolongement d'une fonction d’ensemble simplement additive et les fonctions de Carathéodory. § 1. Le prolongement d'une fonction d'ensemble simplement additive. § 2. La mesure extérieure. § 3. Les fonctions de Carathéodory. § 4. La génération d'une fonction de Carathéodory. 

Chapitre VIII. Produits de mesures et intégrales multiples. § 1. Le produit de deux mesures. § 2. Le produit d'un nombre fini de mesures. § 3. Le théorème de Lebesgue-Fubini. § 4. Le produit d'une infinité de mesures. Appendice.  

Chapitre IX. La mesure dans les espaces topologiques. § 1. Mesures topologiques et mesures de Radon. § 2. Théorèmes d'approximation dans les espaces (Q). § 3. Les mesures de Radon minimales et leurs diverses générations. § 4. Propriétés des mesures de Radon minimales. § 5. La méthode du calcul de Riemann. § 6. Produit de deux mesures de Radon. § 7. Les mesures de Radon généralisées et le théorème de Riesz. § 8. La mesure de Stieltjes. § 9. La formule d'intégration par parties. Appendices. 

Chapitre X. La dérivation des fonctions additives d’ensemble. § 1. La notion de famille d'ensembles partout dense. § 2. La notion de dérivée d'une fonction d'ensemble et les théorèmes de l'Hopital. § 3. Un critère général sur la dérivation des intégrales indéfinies. § 4. La dérivation des intégrales indéfinies de fonctions bornées. § 5. La dérivation des intégrales finies pour tout ensemble de mesure finie. § 6. La dérivation des mesures généralisées. § 7. La dérivation des fonctions à variation bornée. Appendice.

Chapitre XI. La mesure de Lebesgue (plan détaillé). Définition de la mesure de Lebesgue dans R^n. § 2. Propriétés élémentaires. § 3. Les théorèmes de recouvrement. § 4. Propriétés des fonctions à variation bornée et des fonctions absolument continues. § 5. Critères de continuité absolue. § 6. Propriétés générales des dérivées et nombres dérivés (n = 1). § 7. Le problème des primitives. § 8. La formule du changement de variable (n = 1). § 9. La méthode de Riemann. § 10. Les ensembles non mesurables. 

Remarques du rédacteur.

Corrections et additions à la rédaction de l’intégration.

Observations du rédacteur de l’intégration au sujet des trois premiers chapitres présentées à la réunion du 5 juillet 1937.

Deuxième liste de corrections et additions à la rédaction de l’intégration (chapitres I à IV).

Troisième liste de corrections et additions à la rédaction de l’intégration (chapitres I à VIII)

Auteur

Dieudonné, Jean