Traité d'Analyse. Réunion du 14 Janvier 1935. 

Présents : WEIL - DELSARTE - MANDELJBROT - de POSSEL - CARTAN - CHEVALLEY - LERAY

Sur une question de DELSARTE, on fixe la composition du Comité rédacteur. Après un rapide échange d'idées on établit une liste maximum de neuf membres, qui sont:

WEIL - DELSARTE - MANDELBROJT - CARTAN - DUBREIL - DIEUDONNE - de POSSEL - CHEVALLEY - LERAY.

Il est entendu que la liste définitive, extraite de la précédente, sera composée des noms des membres présents à la réunion plénière d'Août ou Septembre prochain, réunion dans laquelle sera dressé le plan définitif et précis du traité.

Il est entendu aussi que le comité rédacteur a dans la plus large mesure, la faculté de s'adjoindre tel ou tel spécialiste qualifié pour aider à la rédaction de fascicules particulièrement techniques. (A ce propos le nom de Coulomb est prononcé, au sujet de fascicule concernant les fonctions spéciales).

- La parole est ensuite donnée à DELSARTE qui indique brièvement ce que DUBREIL et lui désirent particulièrement voir figurer dans le traité, à savoir : de l'algèbre moderne; à propos des équations intégrales, des indications étendues sur l'espace de Hilbert: la théorie des équations aux dérivées partielles dans ses progrès les plus récents, et enfin une large part faite aux fonctions spéciales.

- L'énoncé de ces desiderata ne suscite aucun commentaire.

- La parole est alors donnée à MANDELBROJT qui énonce assez péniblement un principe de généralité qu'il désire voir adopter.

En bref il s'agit de convenir qu'en aucun cas on n'exposera, dans le cours même de la rédaction, et dans le but d'énoncer une proposition déterminée avec son maximum de généralité, des théories trop particulières ou trop spéciales demandant des développements étendus. L'idéal, pour l'orateur, serait que toutes les théories générales et abstraites nécessaires, soient présentées dès le début du traité. C'est en somme l'idée du paquet abstrait initial qui a été longuement évoquée dans la précédente réunion. L'exemple indiqué par MANDELBROJT est celui du théorème de Cauchy, perfectionné par Goursat, perfectionné par X; etc.. Tout le monde est d'accord sur la justesse du principe précité.

- MANDELBROJT dit ensuite qu'il lui semble opportun de s'occuper le moins possible des fonctions entières; à ce moment le désordre nait dans l'assemblée, et très vite un certain nombre de questions sont posées, dont la plupart d'ailleurs, restent sans réponse: fera-t-on le théorème de Picard, fera-t-on la fonction modulaire, fera-t-on la représentation conforme; fera-t-on les fonctions ellipiques, les fonctions abeliennes, les fonctions algébriques, les produits infinis, etc...

Après quelques temps le calme renait, WEIL prend la parole et expose les idées suivantes.

Il faut faire un traité utile à tous : aux chercheurs (patentés ou non), aux "trouveurs", aux candidats aux fonctions de l'enseignement public, aux physiciens et à tous les techniciens. Comme critérium, il faut qu'on puisse, sans mercantilisme, conseiller la fréquentation du traité, ou tout au moins de ses fascicules essentiels, à un étudiant obligé de travailler seul, présumé d'ailleurs d'intelligence médiocre.

Il faut ôter de l'esprit d'un certain nombre de mathématiciens et de presque tous les physiciens, un certain préjugé de rigueur. Beaucoup de physiciens font des calculs d'intégration, de sommation de série, calculs qui leur donnent d'ailleurs des résultats numériques exacts, avec l'intime conviction qu'ils font à tout instant des hérésies mathématiques. Cela provient de ce que, dans la plupart des traités classiques, les théorèmes fondamentaux: moyens de calculs, théorèmes d'existence, etc...; sont présentés avec un luxe de précautions assez impressionnant; les hypothèses demandées sont souvent surabondantes, et il y aura lieu, dans bien des cas, de revenir sur tous ces théorèmes. Il importe donc de donner aux usagers une collection d'outils, ces outils devant être aussi robustes et aussi universels que possible. C'est le principe d'utilité et de commodité qui doit servir de guide. Il va sans dire que le comité est seul juge de ce qui est utile aux gens et de ce qui leur est commode. Comme le dit CARTAN dans une formule saisissante, c'est le principe du "despotisme éclairé".

WEIL ajoute, toujours dans le même ordre d'idées, qu'en ce qui concerne les fonctions spéciales, il faut se garder de tomber dans la monographie. En principe elles devront être exposées, beaucoup plus en application des théorèmes et des principes généraux, qu'en elles-mêmes.

Tout ce qui précède a naturellement été dit de façon plus touffue. Signalons qu'en passant on a décidé que : la véritable intégration, l'intégration "tout court" est celle de Lebesgue; il y a à côté, l'intégration de Riemann qui marche pour les fonctions continues, mais qui se détraque souvent;

Il a été dit aussi, à propos des séries de Fourier, que, pour nous, le théorème essentiel sera le théorème de Fischer-Riesz; qu'elles convergent quelquefois autrement qu'en moyenne, cela sera regardé comme un peu secondaire (ce n'est pas l'avis de MANDELBROJT).

On parle ensuite longuement du théorème de Stockes. Il paraît décidé qu'on fera les formes différentielles extérieures, et donc le théorème de Stockes général. Il s'agit ensuite de savoir si ce théorème est local ou global. CHEVALLEY et DELSARTE sont du premier avis. WEIL ne sait à quoi se résoudre. CARTAN change d'avis deux ou tois fois. Aucune décision n'est prise. En même temps on parle de topologie, de méthode(s) simpliciales, tout le monde les juge nécessaires mais peu esthétiques. On parle aussi de linéarisation, de différenciation. CHEVALLEY a des idées extraordinaires, très généralement improuvées. Enfin, DIEUDONNÉ étant présent, on reparle des théorèmes d'existence, en particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz. WEIL trouve les hypothèses demandées, anti-naturelles; LERAY critique vivement la démonstration donnée par Goursat et attire l'attention sur l'intérêt qu'il y aurait à donner avant tous les théorèmes de ce type, théorèmes maintenant classiques, des théorèmes généraux, de caractère topologiques, qui sont des théorèmes d'existence purs, et non des théorèmes de calcul, mais qui permettent de prévoir quand il est possible d'énoncer un théorème de calcul.

DELSARTE termine en critiquant la désinvolture avec laquelle chacun est arrivé à la présente séance. Il faut préparer ce qui a été demandé, et ne pas se fier à ses facultés d'improvisation, si brillantes qu'on les estime.

Chacun doit préparer et envoyer à WEIL, 3 jours au moins avant la prochaine réunion, un plan complet soigneusement rédigé. WEIL décantera ensuite.

Tout le monde approuve ces fortes paroles, il est même entendu que de graves sanctions pénaliseront les contrevenants.