Expo > 1935-2015, N(icolas) Bourbaki, 80 ans

1935 - 1er semestre > 11 février

Réunion du 11 février 1935

Un grand visiteur allemand bien discret

En provenance de Hambourg, l’algébriste Emil Artin (1898-1962) est un théoricien des corps avec lequel Claude Chevalley avait travaillé durant son séjour en Allemagne, ce qui le conduisit à sa thèse de doctorat sur la théorie du corps de classes. Paul Dubreil, présent à cette réunion, connaissait aussi très bien Artin. C’est à partir de ses cours-conférences et de ceux d’Emmy Noether (1882-1935) à Göttingen que van der Waerden a rédigé le célèbre ouvrage déjà mentionné. Qu’est-ce qu’Artin faisait donc à Paris en février 1935 ? En 1933, l’ascension d’Hitler au pouvoir allait changer la vie d’Artin qui avait épousé (1932), une des ses élèves, Natalia Jasny (1909-1971), (d’origine russe et photographe) avec laquelle il avait eu deux enfants, Karin (1933) et Michael (1934) et l’on sait que les mariages mixtes tombèrent vite sous le couperet des lois antisémites « de purification » en Allemagne. Les Artin auraient-ils songé à se réfugier à Paris ? Au plan mathématique, durant cette même année 1933, Artin avait rédigé une collection de notes de séminaire. Connues de ses proches en mathématiques mais pas publiées officiellement, elles portaient sur les algèbres de Lie semi-simples sur le corps des complexes dans lesquelles il donnait une présentation plus synthétique et élégante de résultats déjà obtenus par Élie Cartan et Hermann Weyl, respectivement [suivant un exposé de Hans Zassenhaus, 1964]. À cette réunion du Traité, aucune mention n’est faite de quelque suggestion qu’Artin aurait faite, même « à titre consultatif ».

La recommandation de Weil sur la composition des sous-commissions vise à donner une présentation juste dans chaque spécialité mais accessible à ceux qui veulent se former. On garde l’idée que le « Traité d’Analyse » doit servir la formation comme la recherche. Malgré l’énoncé de ce principe et nonobstant la présence d’un invité de marque, on se chamaille beaucoup sur la composition des sous-commissions d’algèbre et de fonctions analytiques, respectivement. René de Possel mène aussi une critique sur l’intitulé de l’ouvrage (et conséquemment la visée du groupe) : un « Traité de Mathématiques » au lieu d’un « Traité d’Analyse » ! Voilà un thème qui reviendra sur le tapis.

Ce 11 février, on a surtout discuté de théorie de l’intégration. D’abord, un plan de Dieudonné devant porter sur les ensembles présente : l’espace euclidien à n dimensions, les ensembles de points (dont les bornés, les ouverts et les fermés), les théorèmes de Bolzano-Weierstrass, de Borel-Lebesgue, les ensembles parfaits et la fonction caractéristique. Personne ne semble s’y objecter, peut-être parce que cela pouvait s’associer à l’introduction de la théorie de la mesure-intégration dont on discuta à partir d’un projet soumis par de Possel (un autre de Chevalley semble le rejoindre pour l’essentiel). Ce projet commence par les notions de mesure et de prolongement de mesure ; l’intégrale est une fonctionnelle linéaire qui entraîne la notion de mesure et vice-versa ; intégration et mesure sont définies et étudiées dans des espaces munies d’une topologie (mesures de Radon) ; application de la dérivation des fonctions à la densité physique. Après l’exposé général de ces notions et résultats, viendrait le cas de la droite puis du plan : on construirait l’intégrale à partir de fonctions de variable bornées et de fonctions monotones pour définir ensuite les mesure de Radon de la droite et introduire les intégrales de Stietljes dans le plan ; il y est fait allusion à des travaux de Weil et Henri Cartan sur des mesures de ligne et de surfaces. Les principales critiques (de Dieudonné, Dubreil et Delsarte) visent le caractère trop spécialisé ou avancé d’un tel exposé qui conviendrait mieux à une monographie sur l’intégration qu’à un traité où ce ne serait qu’un sujet parmi tant d’autres. Cela ne déplait pas néanmoins et l’on décide d’attendre les rédactions pour se prononcer. Et l’on se prononcera très tard.

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COMITÉ DU TRAITÉ D’ANALYSE

RÉUNION DU 11 FÉVRIER 1935.

Étaient présents, Messieurs :

WEIL, CARTAN, DIEUDONNÉ, DUBREIL, DE POSSEL, CHEVALLEY, et accessoirement, à titre consultatif, Monsieur ARTIN, Professeur à l’Université de HAMBOURG.

On discute d'abord les propositions faites lors de la dernière réunion, au sujet de la composition des sous-commissions d'Algèbre et de théorie des fonctions analytiques.

WEIL à ce propos, énonce une fois de plus, certains principes généraux : les sous-commissions comprendront trois membres; il y aura dans chaque sous-commission au moins un, et au plus deux spécialistes. Ces principes sont adoptés.
CHEVALLEY critique la composition de la sous-commission d'Algèbre (CHEVALLEY, DUBREIL, DIEUDONNE), et cela au nom des principes précédents. Il trouve DIEUDONNE trop specialiste ; il propose de le remplacer par DELSARTE. WEIL voit dans cette proposition une tentative de dictature des algébristes, la virginité de DELSARTE en ces matières, et son caractère particulièrement doux étant bine connus. Après une courte discussion la composition proposée est adoptée.
DELSARTE et DIEUDONNE critiquent ensuite la composition de s.commission de théorie des fonctions analytiques. Ils veulent remplacer LERAY par CARTAN. (Il n'est pas question de personnes). La raison qu'ils développent éloquemment étant particulièrement évidentes, ils ont gain de cause, et la composition suivante est adoptée: WEIL ; CARTAN, MANDELBROJT.
de POSSEL, attaque ensuite le secrétaire au sujet du nom qu'il donne au traité ; il veut que ce soit un traité de Mathématiques et non un traité d'Analyse. Malgré sa vive insistance, il semble bien que l'opinion publique ne le suive point dans cette voie ; aucun vote n'a lieu et le secrétaire décide de persister dans ses habitudes. Vient ensuite une discussion assez confuse, qui a le tort de se poursuivre simultanément en des endroits divers. il semble qu'il s'agisse d'une attaque brusquée de l'extrême gauche de l'assemblée, attaque sans doute fomentée par de POSSEL, (ulcéré par son précédent echec). CHEVALLEY le suit dans ses revendications. Il s'agit de formuler la différence qu'il y a entre l'algèbre et l'analyse. Sans qu'on sache trop pourquoi, les choses s'enveniment et des bruits de démissions, de schismes, circulent. Peu à peu le calme renaît et on aborde enfin le sujet de la réunion du jour : établir le programme de théorie des ensembles, théorie de la mesure, théorie de l'intégration. Le départ est un peu difficile, il y a un peu de confusion dans les esprits au sujet de ce qui a été fait sur les ensembles abstraits, enfin DIEUDONNE propose la liste suivante, concernant la théorie des ensembles.

Espaces euclidien à n dimensions. Ensembles de points - ensembles bornés - Théorème de Bolzano - Weierstrass ; -Ensembles ouverts - Ensembles fermés - Théorème de Borel - Lebesgue ; - Ensembles parfaits - Ensembles denses - Ensembles complémentaires - fonction caractéristique.
Cette liste est adoptée sans qu'il y ait lieu de signaler de notables réactions.
On passe ensuite à la théorie de la mesure et à celle de l'intégration. CHEVALLEY d'abord, de POSSEL ensuite, exposent des projets précis.

Le projet de CHEVALLEY - qui a oublié d'apporter ses notes et par suite n'entre pas dans les détails - semble asses intuitif ; il arrive à la notion de mesure en suivant l'ordre historique d'après le schéma : Egyptiens -> Archimède -> Lebesgue -> de Possel. La théorie de l'intégration est intimement liée - dans le développement même de l'exposé - a celle de la mesure ; il n'y a pas séparation en deux chapitres distincts. C'est du moins l'impression que donnent les paroles de CHEVALLEY. Ce projet semble sourire à l'ensemble du comité. Il est juste de dire que d'après des remarques ultérieures de CHEVALLEY, son projet se rapproche beaucoup - dans le détail technique - de celui de de POSSEL.

 Ce dernier lit ensuite un plan détaillé qui sert de base à l'édification de la liste qui termine ce rapport.

Voici les objections qui sont faites à ce projet :

Il est trop important, trop élevé dans son ensemble, quelquefois trop technique. On craint qu'il ne donne lieu à la rédaction d'un véritable traité de l'intégration, qui serait semble-t-il déplacé dans un traité d'analyse. On lui reproche aussi de séparer trop nettement la théorie de la mesure de celle de l'intégration, de pousser la théorie de la mesure jusqu'à ses plus récents perfectionnements pour redescendre ensuite à des choses banales et ultra-classiques sur l'intégration. Enfin l'objection d'utilité est faite pour une grosse partie des développements techniques proposés par de POSSEL.

Les principaux objecteurs sont DUBREIL, DIEUDONNE, DELSARTE.  Il est juste de dire qu'ils reconnaissent tous trois la parfaite esthétique de la synthèse proposée par de POSSEL - leurs objections sont donc faites à priori, et attendent, pour prendre toute leur force, ou au contraire pour disparaître, les premiers essais de rédaction. Ceci dit voici la liste de travail approuvée par le Comité :

Notion de mesure et de prolongement de mesure. Notion d'intégrale comme fonctionnelle linéaire et de prolongement des fonctionneles linéaires. Chacune de ces deux notions entraîne l'autre. Notion générale de produit de mesure : intégrales multiples, associativité, th. de Lebesgue-Fubini. Théorème de Nikodym (? en vue du changement de variables ? pour son importance propre ?) ; changement de mesure de base (changement de variable dans les espaces mesurés).

Extension au cas des espaces vectoriels (la valeur de la fonction, et éventuellement la différentielle, dans un espace vectoriel). Groupe abéliens ?

Intégration et mesure dans les espaces topologiques. Mesures de Radon (positives - à mesure variable). Application de la dérivation des fonctions d'ensemble à la notion de densité physique.

Cas de la droite. Fonctions à variation bornée, fonctions monotones. Cas de la mesure de Radon du plan (produit de 2 mesures de Radon de la droite), intégrales de Stieltjes : ∬f dλ dμ. Fonctions absolument continues, dérivation.

Théorie future de Weil-Cartan des mesures définies par un aV. Mesures linéaires, superficielles : ∫fds, ∫fdσ.

En terminant on effleure la question de la sous-commission de l’intégration. Les noms de WEIL, CARTAN, DE POSSEL, CHEVALLEY, DELSARTE… sont prononcés, aucune décision n’est prise. On suggère aussi comme programme de la prochaine séance les équations différentielles.